Ключевое слово: «дифференциальное исчисление»

Рассматриваются задачи, приводящие к понятию производной: касательная к кривой и мгновенная скорость изменения функции. На интуитивном уровне вводится понятие предела. Определяется функция обобщения, которая является производной, но определяется без использования теории пределов. Способ, с помощью которого определяется функция обобщения, называется методом обобщения при исследовании функций. Формулируется признак равенства производной функции и функции обобщения. Осуществляется построение теории дифференциального исчисления на основе метода обобщения равносильной той, которая построена на основе теории пределов. Наряду с геометрической и механической интерпретацией вводится алгебраическая интерпретация производной.

В статье рассматриваются элементы математического анализа с точки зрения метода обобщения при исследовании функций. Формулируется признак равенства производной функции и функции обобщения. Получают развитие положения в опубликованных ранее статьях о замечательных пределах и методике введения производной на основе метода обобщения.

Проблема определения производной без использования теории пределов является важной и актуальной, так как без производной невозможно исследовать функцию на монотонность, осуществив, тем самым, в полной мере схему исследования функции. Классическое определение производной появляется значительно позднее потребности устанавливать промежутки монотонности функции. Основная цель статьи – предложить методику определения производной функции элементарными средствами, без использования теории пределов. Объектом исследования является исследование элементарных основных функций, изучаемых в школьном курсе математики. Предмет исследования – построение теории элементарного исчисления функций. Основой исследования являются понятия дифференциального исчисления. Отправным моментом в достижении цели исследования явилась необходимость рассмотреть возможность описания дифференциального исчисления с точки зрения использования метода обобщения при исследовании функций. Настоящее исследование расширяет дифференциальное исчисление построением теории элементарного исчисления функций. В статье представлен метод обобщения при исследовании функций на монотонность, который определяет функцию обобщения. Функция обобщения позволяет находить промежутки монотонности, скорость изменения функции на промежутке и мгновенную скорость в точке. Производная функции в точке определяется как мгновенная скорость в этой точке. Показывается, что значение функции обобщения в точке равно значению производной и угловому коэффициенту касательной в этой точке. Устанавливается, что функция обобщения выражает алгебраический смысл производной наряду с геометрическим и физическим смыслом. Рассматриваются примеры вычисления производной без использования пределов. Доказывается первый и второй замечательный предел в рамках раздела алгебры и начал анализа «Элементарное исчисление». Показывается целесообразность введения в школьный курс математики функции обобщения при исследовании функций на монотонность и элементарного вычисления производных без использования теории пределов.